星期日, 三月 11, 2012

需要几次相亲才能找到靠谱的她/他?

谈到相亲就不得不提到著名的麦穗问题。说有一天,苏格拉底带领几个弟子来到一块成熟的麦地边。他对弟子们说:“你们去麦地里摘一个最大的麦穗,但要求只能摘一次,只许进不许退,我在麦地的尽头等你们。”可以看得出,相亲这种活动就有点类似于摘麦穗,在等待和决断之间达成平衡是解决问题的重点。

将上述的麦穗问题进一步抽象就是一个经典的概率问题。若一个袋子里有100个不同的球。每个球上标明了其尺寸大小。我们每次随机无放回的从袋中取一个球出来,观察其大小属性之后需决定要或是不要。如果要,取球就此停止。如果不要, 再继续取球,但不准再回头要原先的球。这样下去,直到100个球取完为止。目的就是取到那个最大的球。

对于这个概率问题,一种思路就是取1到100之间的某个数字n,以它作为分割点将整袋球划分为两组,第一组即从第1个到第n个球,第二组即从第n+1个到第100个球。我们以第一组为观察对象,找到第一组中最大的球M,记录其大小但并不行动。然后从第二组中寻找大于M的第一个球,选取该球。那么n应该设为多少,才能使取到最大球的概率最高呢?Ross在其《概率论基础教程》中已经给出了解析解,n应该取在1/e,也就是所有数目的37%处。

换句话说,如果你确定在生命中会遇到100个对象,那么对前37个就请按捺住你的热情,判定其中最优秀的那位M,然后再去寻找比M更优秀的,如果真的遇到就立刻行动,不要再犹豫。因为她/他很可能就是Mr. Right。

口说无凭,我们用R来检测一下上面的结论。先构造一个用于选择的函数,输入参数n是数据的分割点,输出即为选取得到的结果,如果得到100表明选取得到最优秀的对象,如果得到0则表明一无所获。然后设置n取值范围从1到100,对每个n的值模拟10000次选取行为,计算出给定n条件下得到最大值的概率。从下图可以看到最大值的确取在37附近,符合理论结果。
但这里还有一个问题,最优解不一定是令人满意的。如果我们以37作为分割点,可以计算出,有36%的可能性会得到最优的对象,但也有接近38%的可能会一无所获。实际上,有时候我们宁可得到一个次优的结果(例如99)也不希望孤独的生活。所以在选择n这个参数的时候,目标应该着重于结果的期望值大小。重新编程进行第二次模拟,从下图可以观察到最优值取在7附近。也就是说,如果你确定在生命中会遇到100个对象,那么前7个就略过,判定其中最优秀的那位M,然后再去寻找比M更优秀的,这样有最大的可能得到靠谱的对象。
好了,我们知道了应该在观察7个对象后就开始行动,那么回到本文的题目上来,也就是需要多少次相亲才能碰上Mr. Right呢?我们先构造一个函数来记录在第二组中进行尝试的次数。然后模拟10000次后绘制直方图如下,可以看到仍然有7%左右的人未能找到合适的对象,而50%的人在10次以内的尝试后即能选取到合适的对象(未加上第一组的7次观察活动),80%的人在30次以内尝试后即能找到合适的对象。所以说,只要你人品不是太差,37次相亲应该就可以找到不错的人了。准备好你的时间和money吧,但愿你不会掉到离群点中去。
注:本文亦同时发布到统计之都上。本文结论有很多隐藏前提,其推理亦可能有失误之处,仅供娱乐。若读者完全以本文为指导进行相亲活动,其后果概不负责。^_^

R代码如下:
# 进行观察和选取的函数,n负责对整体进行划分,取值在1到100之间
selection <- function(n) {
  raw.data <- sample(1:100,100)
  first.group <- raw.data[1:n]
  second.group <- raw.data[(n+1):100]
  first.max <- max(first.group)
  morethan.first <- second.group > first.max
  my.select <- ifelse(any(morethan.first) == TRUE, 
                      second.group[morethan.first][1],0)
  return(my.select)
}
 
# 进行第一次模拟,找到最优的划分参数,使选取到最大值的概率最大。
data <- matrix(rep(0,10000*100),ncol=100)
result1 <- rep(0,100)
for (i in 1:100) {
  temp <- replicate(n=10000,selection(i))
  data[ ,i] <- temp
  result1[i] <- sum(data[,i] == 100)
}
which.max(result1)
 
# 用ggplot2绘图包进行观察
library(ggplot2)
index <- 1:100
p <- ggplot(data=data.frame(index,result1),aes(index,result1))
p+geom_line(size=1, colour='turquoise4') + 
  geom_point(aes(x = which.max(result1),y=result1[which.max(result1)]),colour=alpha('red',0.5),size=5) 
 
 
# 进行第二次模拟,找到最优的划分参数,使选取的期望值达到最大
result2 <- rep(0,100)
for (i in 1:100) {
  result2[i] <- mean(replicate(n=10000,selection(i)))
}
p <- ggplot(data=data.frame(index,result2),aes(index,result2))
p+geom_line(size=1, colour='turquoise4') + 
  geom_point(aes(x = which.max(result2),y=result2[which.max(result2)]),colour=alpha('red',0.5),size=5)
 
# 构造函数,记录需要多少次尝试才能选取较优的对象
howmany <- function(n) {
  raw.data <- sample(1:100,100)
  first.group <- raw.data[1:n]
  second.group <- raw.data[(n+1):100]
  first.max <- max(first.group)
  morethan.first <- second.group > first.max
  which.select <- ifelse(any(morethan.first) == TRUE, 
                      which(morethan.first==T)[1],0)
  return(which.select)
} 
 
# 记录尝试次数的10000次模拟结果,并绘制直方图
result3<- replicate(n=10000,howmany(7))
p <- ggplot(data=data.frame(result3),aes(result3))
p + geom_histogram(binwidth=1, position='identity',
    alpha=0.5,fill='lightskyblue4',aes(y = ..density..,))+
    stat_density(geom = 'line',colour='red4')
 
# 观察10次尝试内可选取到合适对象的人数比例
length(result[result>0 & result <10])/10000
length(result[result>0 & result <30])/10000

3 条评论:

  1. 翻一次墙出来真不容易啊~~翻出来看不到图,额~
    科学松鼠会有一期文章写过类似的话题,不过就像‘巴普洛夫’把妹法一样,是一个理想状态,娱乐至上,哈哈
    BTW,这个Mr. Right理论和数据挖掘里的0.632 bootstrap理论有异曲同工之妙,相当给力啊~

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  2. 哈哈,我才用了几次,不急。
    特别赞这种将理论和实际问题结合起来的文章。

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