谈一谈支持向量机分类器

支持向量机（Support Vector Machine）名字听起来很炫，功能也很炫，但公式理解起来常有眩晕感。所以本文尝试不用一个公式来说明SVM的原理，以保证不吓跑一个读者。理解SVM有四个关键名词：分离超平面、最大边缘超平面、软边缘、核函数。

• 分离超平面（separating hyperplane）：处理分类问题的时候需要一个决策边界，好象楚河汉界一样，在界这边我们判别A，在界那边我们判别B。这种决策边界将两类事物相分离，而线性的决策边界就是分离超平面。
• 最大边缘超平面（Maximal Margin Hyperplane）：分离超平面可以有很多个，怎么找最好的那个呢，SVM的作法是找一个“最中间”的。换句话说，就是这个平面要尽量和两边保持距离，以留足余量，减小泛化误差，保证稳健性。或者用中国人的话讲叫做“执中”。以江河为国界的时候，就是以航道中心线为界，这个就是最大边缘超平面的体现。在数学上找到这个最大边缘超平面的方法是一个二次规划问题。
• 软边缘（Soft Margin)：但世界上没这么美的事，很多情况下都是“你中有我，我中有你”的混杂状态。不大可能用一个平面完美的分离两个类别。在线性不可分情况下就要考虑软边缘了。软边缘可以破例允许个别样本跑到其它类别的地盘上去。但要使用参数来权衡两端，一个是要保持最大边缘的分离，另一个要使这种破例不能太离谱。这种参数就是对错误分类的惩罚程度C。
• 核函数(Kernel Function)，为了解决完美分离的问题，SVM还提出一种思路，就是将原始数据映射到高维空间中去，直觉上可以感觉高维空间中的数据变的稀疏，有利于“分清敌我”。那么映射的方法就是使用“核函数”。如果这种“核技术”选择得当，高维空间中的数据就变得容易线性分离了。而且可以证明，总是存在一种核函数能将数据集映射成可分离的高维数据。看到这里各位不要过于兴奋，映射到高维空间中并非是有百利而无一害的。维数过高的害处就是会出现过度拟合。

所以选择合适的核函数以及软边缘参数C就是训练SVM的重要因素。一般来讲，核函数越复杂，模型越偏向于拟合过度。在参数C方面，它可以看作是LASSO算法中的lambda的倒数，C越大模型越偏向于拟合过度，反之则拟合不足。实际问题中怎么选呢？用人类最古老的办法，试错。


常用的核函数有如下种类：

• Linear：使用它的话就成为线性向量机，效果基本等价于Logistic回归。但它可以处理变量极多的情况，例如文本挖掘。
• polynomial：多项式核函数，适用于图像处理问题。
• Radial basis，高斯核函数，最流行易用的选择。参数包括了sigma，其值若设置过小，会有过度拟合出现。
• sigmoid：反曲核函数，多用于神经网络的激活函数。

好吧，理论说了一大堆，关键得在R里面出手。R语言中可以用e1071包中的svm函数建模，而另一个kernlab包中则包括了更多的核方法函数，本例用其中的ksvm函数，来说明参数C的作用和核函数的选择。我们先人为构造一个线性不可分的数据，先用线性核函数来建模，其参数C取值为1。然后我们用图形来观察建模结果，下图是根据线性SVM得到各样本的判别值等高线图（判别值decision value相当于Logistic回归中的X，X取0时为决策边界）。可以清楚的看到决策边界为线性，中间的决策边缘显示为白色区域，有相当多的样本落入此区域。

下面为了更好的拟合，我们加大了C的取值，这样如下图所示。可以预料到，当加大惩罚参数后决策边缘缩窄，也使训练误差减少，但仍有个别样本未被正确的分类。

最后我们换用高斯核函数，这样得到的非线性决策边界。所有的样本都得到了正确的分类。

在实际运用中，为了寻找最优参数我们还可以用caret包来配合建模，并且如同前文那样使用多重交叉检验来评价模型。还需要注意一点SVM建模最好先标准化处理。最后来总结一下SVM的优势：

• 可用于分类、回归和异常检验
• 可以发现全局最优解
• 可以用参数来控制过度拟合问题

代码如下：

# 构造数据
x1 <- seq(0,pi,length.out=100)
y1 <- sin(x1) + 0.1*rnorm(100)
x2 <- 1.5+ seq(0,pi,length.out=100)
y2 <- cos(x2) + 0.1*rnorm(100)
data <- data.frame(c(x1,x2),c(y1,y2),c(rep(1, 100), rep(-1, 100)))
names(data) <- c('x1','x2','y')
data$y <- factor(data$y)
 
# 使用线性核函数，不能很好的划分数据
model1 <- ksvm(y~.,data=data,kernel='vanilladot',C=0.1)
plot(model1,data=data)
# 加大惩罚参数，决策边缘缩窄，使训练误差减小
model2 <- ksvm(y~.,data=data,kernel='vanilladot',C=100)
plot(model2,data=data)
# 使用高斯核函数，正确的分类
model3 <- ksvm(y~.,data=data,kernel='rbfdot')
plot(model3,data=data)
 
# 10折交叉检验训练iris数据，选择最优参数C为0.5
fitControl <- trainControl(method = "repeatedcv", number = 10, repeats = 3,returnResamp = "all")
model <- train(Species~., data=iris,method='svmRadialCost',trControl = fitControl)

参考资料：
http://www.autonlab.org/tutorials/svm15.pdf
http://www.jstatsoft.org/v15/i09/paper
http://www.broadinstitute.org/annotation/winter_course_2006/index_files/Noble%202006%20SVM%20tutorial%20Nat%20Biotech.pdf
http://cran.r-project.org/web/packages/kernlab/vignettes/kernlab.pdf