R语言多元分析系列之三：多维标度分析

多维标度分析(MDS)是一种将多维空间的研究对象简化到低维空间进行定位、分析和归类，同时又保留对象间原始关系的数据分析方法。

设想一下如果我们在欧氏空间中已知一些点的座标，由此可以求出欧氏距离。那么反过来，已知距离应该也能得到这些点之间的关系。这种距离可以是古典的欧氏距离，也可以是广义上的“距离”。MDS就是在尽量保持这种高维度“距离”的同时，将数据在低维度上展现出来。从这种意义上来讲，主成分分析也是多维标度分析的一个特例。


一、距离的度量
多元分析中常用有以下几种距离，即绝对值距离、欧氏距离(euclidean)、马氏距离(manhattan)、 两项距离(binary)、明氏距离(minkowski)。在R中通常使用disk函数得到样本之间的距离。MDS就是对距离矩阵进行分析，以展现并解释数据的内在结构。

在经典MDS中，距离是数值数据表示，将其看作是欧氏距离。在R中stats包的cmdscale函数实现了经典MDS。它是根据各点的欧氏距离，在低维空间中寻找各点座标，而尽量保持距离不变。

非度量MDS方法中，“距离"不再看作数值数据，而只是顺序数据。例如在心理学实验中，受试者只能回答非常同意、同意、不同意、非常不同意这几种答案。在这种情况下，经典MDS不再有效。Kruskal在1964年提出了一种算法来解决这个问题。在R中MASS包的isoMDS函数可以实现这种算法，另一种流行的算法是由sammon函数实现的。
二、经典MDS
下面我们以HSAUR2包中的watervoles数据来举例。该数据是一个相似矩阵，表示了不同地区水田鼠的相似程度。首先加载数据然后用cmdscales进行分析。

library(ggplot2)
data(watervoles, package = "HSAUR2")
data(watervoles)
voles.mds=cmdscale(watervoles,k=13,eig=T)

下面计算前两个特征值在所有特征值中的比例，这是为了检测能否用两个维度的距离来表示高维空间中距离，如果达到了0.8左右则表示是合适的。

sum(abs(voles.mds$eig[1:2]))/sum(abs(voles.mds$eig))
sum((voles.mds$eig[1:2])^2)/sum((voles.mds$eig)^2)

然后从结果中提取前两个维度的座标，用ggplot包进行绘图。

x = voles.mds$points[,1]
y = voles.mds$points[,2]
p=ggplot(data.frame(x,y),aes(x,y,label = colnames(watervoles)))
p+geom_point(shape=16,size=3,colour='red')+
  geom_text(hjust=-0.1,vjust=0.5,alpha=0.5)

三、非度量MDS
第二例子中的数据是关于新泽西州议员投票行为的相似矩阵，这里我们用MASS包中的isoMDS函数进行分析

library("MASS")
data(voting, package = "HSAUR2")
voting_mds = isoMDS(voting)
x = voting_mds$points[,1]
y = voting_mds$points[,2]
g=ggplot(data.frame(x,y),aes(x,y,label = colnames(voting)))
g+geom_point(shape=16,size=3,colour='red')+
  geom_text(hjust=-0.1,vjust=0.5,alpha=0.5)

参考资料：
A Handbook of Statistical Analyses Using R
多元统计分析及R语言建模