用模拟来理解混合效应模型之一：random intercept model

混合效应模型（Mixed-effect Model）在之前文章提到过，但感觉仍是雾里看花。此番又研究了一些资料，准备来做一个系列讲讲清楚，也算是自己学习的一个总结。

普通的线性回归只包含两项影响因素，即固定效应（fixed-effect）和噪声（noise）。噪声是我们模型中没有考虑的随机因素。而固定效应是那些可预测因素，而且能完整的划分总体。例如模型中的性别变量，我们清楚只有两种性别，而且理解这种变量的变化对结果的影响。

那么为什么需要 Mixed-effect Model？因为有些现实的复杂数据是普通线性回归是处理不了的。例如我们对一些人群进行重复测量，此时存在两种随机因素会影响模型，一种是对某个人重复测试而形成的随机噪声，另一种是因为人和人不同而形成的随机效应（random effect）。如果将一个人的测量数据看作一个组，随机因素就包括了组内随机因素（noise）和组间随机因素（random effect）。这种嵌套的随机因素结构违反了普通线性回归的假设条件。


你可能会把人员ID（组间的随机效应）看作是一种分类变量放到普通线性回归模型中，但这样作是得不偿失的。有可能这个factor的level很多，可能会用去很多自由度。更重要的是，这样作没什么意义。因为人员ID和性别不一样，我们不清楚它的意义，而且它也不能完整的划分总体。也就是说样本数据中的路人甲，路人乙不能完全代表总体的人员ID。因为它是随机的，我们并不关心它的作用，只是因为它会影响到模型，所以不得不考虑它。因此对于随机效应我们只估计其方差，不估计其回归系数。

混合模型中包括了固定效应和随机效应，而随机效应有两种方式来影响模型，一种是对截距影响，一种是对某个固定效应的斜率影响。前者称为 Random intercept model，后者称为 Random Intercept and Slope Model。Random intercept model的函数结构如下：

Yij = a0 + a1*Xij +  bi + eij

a0: 固定截距
a1: 固定斜率
b: 随机效应（只影响截距）
X: 固定效应
e: 噪声

下在的代码就是人工生成这种数据，再用nlme包建模展示。

参考资料：
Regress by simulation
A very basic tutorial for performing linear mixed effects analyses