三门问题的模拟

有一个著名的蒙提霍尔问题，亦称为三门问题（英文：Monty Hall problem），大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起网络上一阵热烈的讨论。有人认为概率还是1/3，不用换。有人认为概率增大为1/2，可以换。实际上，如果严格按照上述的条件的话，赢得汽车的正确机率是2/3。我们可以用一种极端的方法来考虑，如果有100扇门，主持人打开了998扇空门，你换不换呢？显然是要换的。

还有许多概率推理的方法可以获得正确答案。但我们有计算机和R，让我们来写个小程序模拟一下嘛。

# 坚持不换的策略
n <- 0
for ( i in 1:10000) {
    door <- c(1,2,3)
    chance <- sample(door,1)
    select <- sample(door,1)
    if (chance == select) {
        n <- n + 1
    }
}
print(n/10000)
 
# 坚持换的策略
n <- 0
door <- c(1,2,3)
for ( i in 1:10000) {
    chance <- sample(door,1)
    select <- sample(door,1)
    remove <- ifelse(chance==select, 
                    sample(setdiff(door,chance),1),
                    setdiff(door,c(chance,select)))
    reselect <- setdiff(door,c(select,remove))
    if (chance == reselect) {
        n <- n + 1
    }
}
print(n/10000)

模拟结果分别是0.33和0.66，与理论结果一致。一个很简单的模拟，证明了一个略有麻烦的问题。

参考资料：
wikipedia
Data_Analysis_with_Open_Source_Tools